population stationnaire . memento .

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[mis à jour le 28 avril 2009]

I. DÉFINITION DE LA DYNAMIQUE D'UNE POPULATION STATIONNAIRE

1 . les conditions de mortalité sont invariantes dans le temps (une même loi de mortalité – série de quotients de mortalité par âge – à tout moment, et pour toutes les générations).
2 . la fécondité est invariante et équilibre la mortalité (le comportement fécond est tel que le nombre annuel de naissances N est égal au nombre de décès D) .
3. il n'y a pas d'échanges migratoires avec l'extérieur (la population est dite "fermée") .

II. ÉTAT ET MOUVEMENT D'UNE POPULATION STATIONNAIRE

la définition de cette dynamique démographique entraine un certain nombre de propriétés caractéristiques de l'état et du mouvement de la population stationnaire . dans la suite de l'exposé le nombre annuel de naissance N sera identifié à l'effectif à la naissance de la cohorte de la table de mortalité .

> le bilan démographique annuel [ P_t+1 = P_t + (N - D) + (I - E) ] est réduit à sa plus simple expression. La population étant fermée, l'accroissement total est égal à l'accroissement naturel : P_t+1 - P_t = (N - D) . Puisque N = D , l'accroissement naturel est nul : (N - D) = 0, l'accroissement total est nul et l'effectif de la population est constant : P_t = P .

> les effectifs instantanés de chaque classe d'âge sont égaux au nombre de personne-années vécues dans ce groupe d'âge

série des quantités L(x) d'une table HMD . avec L(x) = a(x).d(x) + n.l(x+n) .
série des quantités P(x,x+a) d'une table INED

> l'effectif de la population d'âge x et au delà (P_x+) est égal au nombre de personne-années vécues à partir de l'âge x dans une génération .

quantité T(x) dans la table HMD .
pas de lecture directe dans une table INED .

> l'effectif instantané d'une population stationnaire (P) est égal au nombre total de personne-années vécues dans une génération .

quantité T(0) dans la table HMD .
pas de lecture directe dans une table INED

> dans une cohorte le nombre de personne-années vécues à partir de l'âge x est égal au produit du nombre moyen de personne-années restant à vivre à partir de cet âge par l'effectif subsistant à cet âge x (application de la notion de moyenne) . donc l'effectif P_x+ de la population stationnaire d'âge x et au delà est égal au produit du nombre de survivants à l'âge exact x par l'espérance de vie à l'âge x .

dans la notation d'une table HMD : P_x+ = l(x).e(x) = T(x).
dans la notation d'une table INED : P_x+: = S_x. e_x

> le nombre total de personne-années vécues dans une cohorte est égal au produit de sa durée de vie moyenne par son effectif initial (application de la notion de moyenne) . donc l'effectif P d'une population stationnaire est égal au produit du nombre annuel de naissances par l'espérance de vie à la naissance .

dans la notation d'une table HMD : P = l(0).e(0) = T(0) = somme des L(x)
dans la notation d'une table INED : P = S₀. e₀ = somme des P(x,x+a)

> les taux bruts de mortalité et de natalité sont égaux à l'inverse de l'espérance de vie à la naissance .

III . SYNTHÈSE

on peut envisager la population stationnaire comme constituée d'une succession de générations dont l'effectif initial et les effectifs de survivants à tous âges sont identiques, l'histoire de chaque génération étant décrite par la table de mortalité . on parle ainsi de "population stationnaire associée à une loi de mortalité" . ce modèle de population permet de mettre en lumière

• la contribution intrinsèque de la mortalité à la configuration de l'état (nombre et structure) d'une population quand la fécondité assure le strict renouvellement des générations.
• l'association entre (taux brut de) natalité et (taux de) mortalité qui assure la "croissance zéro" d'une population fermée.

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lien utile :
vers la note mdem24f . notes de séance du 16 avril 2009
vers la note HMD et INED : deux manières de présenter les tables de mortalité

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HMD et INED , deux manières de présenter des tables de mortalité

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la comparaison des tables publiées par deux banques de données en ligne pour une même mortalité (en l'occurrence la mortalité des hommes en France en 1816 ) va nous permettre de constater les ressemblances et dissemblances de présentation des tables dans les deux domaines linguistiques : francophone et anglophone . la présentation anglophone peut être considérée comme norme pour les publications internationales il ne serait donc pas mauvais de se familiariser avec ces notations et leur correspondance pour pouvoir travailler indifféremment dans l'un ou l'autre système .

un autre avantage de cette comparaison est qu'elle vous permettra de mieux comprendre la notion de population stationnaire associée à une loi de mortalité en découvrant les rapports entre les effectifs d'une population stationnaire et les séries L(x) et T(x) qui s'expriment en "person-years" (personne-années) .

> la Human Mortality Database (HMD) est une riche source de données internationales historiques sur la mortalité . cette banque de données est cogérée par l'université de Berkeley aux États-Unis et le Max Planck Insitute for Demographique Research en Allemagne . [un lien vers cette ressource est installé dans la rubrique Outils de Travail du blog ].




> le CD-Rom Vallin-Meslé de l'Ined : "TABLES DE MORTALITÉ FRANÇAISES 1806-1997 ET PROJECTIONS JUSQU’EN 2102" est un autre ressource de données historiques sur la mortalité en France . son contenu est accessible en ligne sans restriction d'accès à partir du site de l'INED . [un lien vers cette ressource est installé dans la rubrique Outils de Travail du blog ].

TABLEAU COMPARATIF DES INTITULÉS DES COLONNES DES TABLES DE MORTALITÉ INED ET HMD .

	INED	HMD	url de la source : http://www.mortality.org/Public/ExplanatoryNotes.php#CompleteDataSeries
âge exact x	x	Age	Age group for n-year interval from exact age x to just before exact age x+n, where n=1, 4, 5, or ∞ (open age interval) groupe d'âge pour un intervalle d'amplitude n de l'âge exact x à l'âge exact x+n, où n = 1, 4, 5 ou intervalle ouvert .
		m(x)	Central death rate between ages x and x+n
probabilité de décès entre les âges x et x+a (ou : probabilité à l'âge exact x de décéder avant l'âge exact x+a)	aQx	q(x)	Probability of death between ages x and x+n probabilité de décès entre les âges x et x+n
		a(x)	Average length of survival between ages x and x+n for persons dying in the interval
nombre de Survivants à l'âge exact x pour une racine S0 = 100.000	Sx	l(x)	Number of survivors at exact age x, assuming l(0) = 100,000 nombre de survivants à l'âge exact x, en supposant que l(0) = 100.000 .
nombre de décès entre les âges exacts x et x+a	d(x,x+a)	d(x)	Number of deaths between ages x and x+n nombre de décès entre les âges exacts x et x+n
effectif de la classe d'âge exact (x, x+a) dans la population stationnaire associée .	P(x,x+a)	L(x)	Number of person-years lived between ages x and x+n nombre de personne-années vécues entre x et x+n
		T(x)	Number of person-years remaining after exact age x nombre de personne-années restant (à vivre) après l'âge exact x
espérance de vie à l'âge exact x	ex	e(x)	Life expectancy at exact age x (in years) espérance de vie à l'âge exact x (en années)

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liens utiles :
vers la note : mdem24f . notes de séance du 16 avril 2009
vers la note mdem24f . tables de mortalité . rappels de cours
vers la note population stationnaire . memento .
vers le site HMD : Human Mortality Database
vers le sommaire du CDrom Vallin-Meslé - site de l'INED .
vers le Tableau III-A-1, Tables de mortalité pour le XIXe siècle (1806-1898)

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mdem20e . dossier de synthèse . consignes . (2)

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inutile de rappeler que le travail d'évaluation de contrôle continu est en cours : j'ai déjà reçu tous les classeurs de données , et quelques dossiers complets incluant le texte de présentation des résultats . peu de consignes particulières à vous donner à ce propos, le rappel de la présentation du travail à faire devrait suffire :

présentation des résultats obtenus (40% de la note de contrôle continu) .
compétences évaluées : rédiger une présentation claire et concise d'un corpus d'informations nombreuses . hiérarchiser et sélectionner les informations, indicateurs, visualisations, les plus parlants . pertinence des choix de mise en page et de typographie . qualité formelle de réalisation .

> la date ultime pour le rendu des travaux est fixée au dimanche 11 janvier 2009 . délai de rigueur . les travaux qui parviendraient après cette date ne pourraient pas être pris en compte .

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liens utiles :
vers la note : contrôle continu . évaluation
vers la note : dossier de synthèse. consignes . (1)

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usus . loi & table de mortalité .

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> tableau de données . conditions de mortalité des hommes en France en 1900 .

x	0	10	25	40	60	75	89
aqx	1/4	1/11	1/8	1/3	3/5	27/28	1

1 . que mesurent les valeurs : 1/4 — 1/8 — 27/28 —1 ?
2 . construire la table de mortalité correspondant à cette loi de mortalité avec une racine de 10 000 .
3 . déterminez graphiquement l'âge médian au décès . quelle autre dénomination donne-t-on aussi à cet indicateur ?

> voici une information supplémentaire :
parmi les 10 000 S0 , il reste 8 200 survivants au premier anniversaire

4 . calculez l'espérance de vie à la naissance .

[examen de septembre 2001 . soc 20b . option . initiation à l'analyse démographique . extrait ]
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usus . diagramme de lexis . double classement .

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voici un diagramme de lexis sur lequel a été transcrite de l'information démographique concernant des décès de personnes de sexe masculin, en france, en 1991 .

Transposez ces données sous forme d'un tableau présentant le double classement des décès de l'année 1991 .

[examen du 4 juin 1998 . soc 020 . initiation à l'analyse démographique . obligatoire . 1e années deug de sciences sociales . extrait .]

usus . distributions . calcul de moyenne . histogramme

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voici un tableau tout préparé de calcul d la moyenne de la distribution en fréquence d'un ensemble de décès à moins d'un an selon la durée de vie (exprimée en mois révolus) .
1 . complétez les cases laissées en blanc dans le tableau .
2 . explicitez la signification de la notation x_i ? (de quel type de grandeur s'agit-il ?)
3 . qu'apprend-on sur la mortalité quand on lit la valeur : 0,34 ?
4 . à votre avis comment la valeur de x₁ a-t-elle été déterminée ?
5 . à votre avis comment x₂, x₃, ...., x₅ ont-t-ils été évalués ?
6 . quelle est la valeur de la moyenne cherchée exprimée en mois de vie ? exprimée en années de vie ?
7. énoncez brièvement ce que ces données nous apprennent sur les décès à moins d'un an survenus dans la population et à l'époque considérées .

[examen du 4 juin 1998 . soc 020 . initiation à l'analyse démographique . obligatoire . 1e années deug de sciences sociales . extrait .]
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usus . distributions . listes de modalités .

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voici un tableau présentant de l'information sur l'état de la population de l'Europe des 12 au 1/1/1990 .

1. combien y avait-il d'habitants dans l'Europe des douze au 1/1/1990 ?
2. établir la distribution en fréquence de cet ensemble selon l'âge au premier janvier 1990 . (faire en sorte que l'âge soit décrit avec le maximum de modalités )

[examen du 4 juin 1998 . soc 020 . initiation à l'analyse démographique . obligatoire . 1e années deug de sciences sociales . extrait .]
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usus . logarithmes . croissance . comparaison .

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1. il est possible de repérer graphiquement (sans calcul) le temps de doublement de l'effectif d'une population . expliquez de quelle manière .
2. réalisez les tracés nécessaires au repérage du temps de doublement de chacune des populations A et B.
3. lecture et résultat : la population A double en ..... ans . la population B double en ..... ans
4. quel est le rythme annuel d'accroissement constant qui correspond à ces temps de doublement ? (utiliser la "règle des 70" ) résultat : la population A croît au rythme de .... % par an . la population B croît au rythme de .... % par an
5. considérons une troisième population (pays C), dont l'effectif en t+60 est de 100. La population du pays C suit le même modèle de croissance que le pays B . quel était l'effectif de la population C à l'instant t ?
6. tracez sur la figure a représentation de l'évolution dans le temps de l'effectif de la population du pays C .

[examen du 25 avril 2002 . soc 20B . initiation à l'analyse démographique . option . 1e année deug de sciences sociales . extrait ]
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usus . mortalité du moment et de génération . comparaison .

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tables de mortalité . France . sexe masculin . survivants S_x

x	génération 1899	en 1899
0	100 000	100 000
1	81 889	81 686
5	76 374	75 360
10	75 004	73 529
15	74 123	72 734
25	68 437	67 625
35	62 432	62 276
55	51 921	47 061
65	41 324	34 656
69	35 336	28 184
e69	10,8 ans	8,4 ans

comparez ces deux mortalités, à partir des indicateurs suivants : e0 , vie probable, {e_x} , {_aq_x}
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usus . indicateurs de mortalité . nombres d'années vécues .

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voici quelques informations extraites de la table de mortalité de la génération masculine 1903, en France.

anniversaire x	0	1	5	15	30	50	65
nombre de survivants Sx	10 000	8 439	7 918	7 692	7 088	6 137	4 622

l'espérance de vie à 65 ans est de 13,1 ans.

1 . A partir de ces informations évaluer les grandeurs suivantes : vie moyenne, vie probable, espérances de (sur) vie à la naissance, et aux premier et trentième anniversaire.

2. Rédigez un court texte de présentation des conditions de mortalité des hommes en France au début du XX^e siècle . (vous pouvez enrichir le commentaire de vos connaissances sur la situation actuelle de la mortalité en France.)

usus . piège pour amateurs . répartition uniforme ?

I . voici une distribution . il s'agit d'événements survenus au cours de la période 1989-2000 .

âge en années révolues au moment de l'événement	0	1 - 2	3 - 5	6 - 11
nombre d'événements	65 550	114 000	128 250	102 600

1 . au vu du tableau les événements vous semblent-ils uniformément répartis selon l'âge ? 2. dessinez l'histogramme de la distribution de cet ensemble de décès selon l'âge au décès . 3. au vu de l'histogramme, caractérisez l'allure de la distribution .

II. on vous informe maintenant que les données concernent des individus appartenant au groupe de générations 1989-2000 .

1 . compte tenu de cette nouvelle information indiquez pour chaque classe d'événements la modalité qui la caractérise . 2 . transposez le tableau de données en diagramme de Lexis . 3 . repérer la surface du diagramme représentative de chaque modalité . 4 . mettez en rapport les surfaces représentatives des modalités et les effectifs de ces modalités . qu'observez-vous ? .

III. pour conclure . au vu des résultats de la question précédente revenez à la question de la répartition des événements selon l'âge . une répartition uniforme des événements est-elle pensable ? que traduirait alors la forme de l'histogramme ?

[examen du 14 janvier 2003 . licence de démographie . analyse démographique . extrait ]
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usus . critique . histogramme .

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Voici une distribution et une proposition d'histogramme la visualisant . l'histogramme vous semble-t-il correct ? pourquoi ?

classes d'âge en années révolues	0	1 à 4	5 à 9	10 à 24	25 à 44	45 à 74	75 à 99
nombre d'événements	1530	6120	7650	22950	30600	45900	38250

(première diffusion : 14 janvier 2003 . examen licence de démographie)

mdem20e . semaine 12. épreuve écrite . me 17 déc. 2008 .

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page 1	page 2	page 3	page 4	page 5

remarques sur l'épreuve après l'épreuve & avant correction des copies .
les questions ne soulèvent aucune difficulté, le niveau est "élémentaire" . mais l'épreuve n'est pas pour autant si facile à réussir . la réussite repose sur la ferme compréhension des notions de base, l'assimilation de la terminologie, la familiarité acquise avec les procédures de visualisation des données . les exercices ne sont pas la répétition a l'identique sur de nouvelles données procédés et démarches de résolution d'exercices déjà faits . dans un exercice en particulier, la réussite vient si on se laisse guider par le sens d'une notion au lieu d'appliquer une routine de calcul . je ferai de plus amples commentaires prochainement après correction des travaux . en attendant vous pouvez chercher à (re) faire le travail à livre ouvert et en temps libre . quand vous disposez de tout votre temps et de la documentation — le blog, vos notes de cours et de travaux dirigés — la perspective change . vos commentaires avant correction sont bienvenus .

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liens utiles :
vers le texte de l'examen au format pdf.

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mdem20e . corrigé 22 . un problème d'abscisses dans Excel .

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Vue 1 . Feuille TABLE DE MORTALITE . le tableau source des données numériques . les valeurs a représenter sont dans la colonne d(x,x+1) de la table de mortalité .

Vue 2 . Feuille GRAPHIQUE DISTRIBUTION DES DECES . constat d'une mauvaise identification des valeurs en abscisse . D'où viennent ces valeurs ?

Vue 3. examnier le panneau DONNEES SOURCES du graphique sélectionné . c'est la démarche à suivre impérativement lorsque le résultat produit par Excel ne correspond pas aux attentes de l'utilisateur. on constate ici que seule la série des valeurs qui servent à définir la hauteur des rectangles a été sélectionnée.

Vue 4. agrandi de la vue précédente : preuve qu'aucune plage de cellules n'a été sélectionnée pour nourrir les étiquettes des abscisses .

(à suivre . je mets le message en ligne bien que la rédaction ne soit pas achevée. j'espère que l'iconographie devrait suffire pour débloquer la situation de certains étudiants qui sèchent encore sur cette irritante question de pratique. )


Vue 5.

Vue 6.

Vue 7 .

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liens utiles :
> vers le texte de pratique 22 : un problème d'abscisses dans Excel .

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mdem20e & mdem21e . EXAMENS .

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RAPPEL : EXAMENS LA SEMAINE PROCHAINE .

• mdem20e . mercredi 17 décembre 2008 . 14:00 - 16:00 . salle 3211 .
• mdem21e . jeudi 18 décembre 2008 . 16:30 - 17:30 . salle 5311 .

PONCTUALITE + CARTE D'ETUDIANT + CRAYON NOIR + GOMME + CALCULETTE

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mdem21e . semaine 11 . séance 5 . je 11 déc. 2008

L'OBSCURITE DES FORMULES MODERNES & LA LUMIERE DES TEXTES CLASSIQUES

idée du cours : reprendre à la lumière des textes classiques des auteurs qui ont commencé — Graunt/Petty et les frères Huygens (Louis et Christian) — les notions liées à la table de mortalité et singulièrement les questions liées au calcul d'espérance de vie . confronter les formules modernes et les textes des inventeurs . utiliser les textes des inventeurs - qui expliquent leur démarche avec clarté et concision - pour comprendre les formules modernes .

> les formules :

1. la seule formule que j'aie donné dans le cours : P_x+ = S_x . e_x
2. une formule venue hier en provenance du cours d'informatique (?) : e_x = (somme des années vécues / S_x ) - x
3. formule de calcul d'une moyenne en provenance du cours premier niveau de statistique descriptive : x-barre = (somme des n_i. x_i) / n

> les documents diffusés et commentés:

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liens utiles :
vers le document diffusé (pdf) : la seconde figure de Ch. Huygens (lettre du 28 novembre 1669) et la "table" de Graunt/Petty (pages 124 à 136 des Observations . édition 1665)
vers l'enregistrement du cours du 11 décembre partie 1 . partie 2.
vers la note : mdem21e.semaine 5.séance 3.je 9 oct 2008
vers la note : calcul des aages . mises au point finales . 29 novembre 1669 .
vers le compte-rendu de Naissance de la Mortalité . L'origine politique de la statistique et de la démographie . par Hervé Le Bras . Seuil - Gallimard . Paris 2000 . par Jacques Véron, dans la bibliographie critique de la revue population , Population, 55e Année, No. 6 (Nov. - Déc., 2000), pp. 1036-1039 .

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mdem20e . pratique 23 . ce que fait le $ en A1 ...

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... comment le faire en L1C1 ?
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mdem20e . pratique 22 . un problème d'abscisses dans Excel .

j'ai pensé utile de vous proposer cet exercice, en raison de la surprenante fréquence de l'erreur dont il s'agit dans des travaux qui sont par ailleurs de bonne qualité . je suis curieuse d'entendre ce que les fautifs pourraient m'apprendre sur leurs raisons . s'agit-il seulement de négligence ? ou y a-t-il là une véritable difficulté ? me voici comme souvent incapable de juger a priori du niveau de difficulté d'un exercice . nous verrons cela demain en séance .

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je reçois en ce moment des travaux sur la table de mortalité . Il s'agit de réaliser, à partir de lois de mortalité, des tables de mortalité et les visualisations correspondant aux différentes séries de la table . j'ai extrait deux petits morceaux de visualisation de distributions de décès de tables de mortalité selon l'âge au décès . je vous les soumets . qu'est-ce qui ne va pas ? quelle erreur ont commis les auteurs de ces travaux ? comment y remédier ?

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intelligence d'Excel . construire une structure de traitement des données sans les données .

voici une présentation visuelle de la question : observez comment se présentent les structures de traitement (numérique puis graphique) qui transforment les données d'entrée une loi de mortalité {qx} en table de mortalité . observez la différence entre les différents modes d'affichage des contenus de cellule . observez les modifications induites par une insertion de lignes .

et si on ajoute des lignes quelle différence ?

mdem20e . semaine 11 . séance 18 . me 9 déc. 2008

DERNIERES MISES AU POINT AVANT L'EXAMEN DE LA SEMAINE PROCHAINE . . SUITES DU COURS DE JEUDI DERNIER .


I. DU NOUVEAU

1. offenburg ?
2. catalogue des exercices de la saison d'automne 2008 .
3. nouveaux exercices : pratique 22 et pratique 23 .

II. QUESTION DES ETUDIANTS ?

III . TRAVAIL EN SEANCE :

1. pratique 22
2. pratique 23
3. Discussion : signification de {ex} , leur logique de calcul dans Excel, rapport entre les notations et quantités de table de mortalité et les notations et quantités qui intereinnent dans la formule "x barre égale somme des nixi sur n" . signification des quantités qui participent au calcul . rapport avec la population stationnaire

IV. METHODE DE TRAVAIL DANS EXCEL

1. concevoir la structure de calcul et de visualisation d'un classeur comme un réseau de formules qui appellent les données saisies, directement ou indirectement.
pour vérifier — quand elle est terminée — que votre structure de traitement est robuste : supprimez les données saisies et observez le contenu des tableaux et graphiques . vous pourrez aisément vérifier que vous n'avez pas introduit dans la chaîne de traitement une valeur numérique externe aux données de base. Il faut éviter d'introduire en cours de route une (a fortiori plusieurs) valeurs qui soi(en)t spécifique(s) au jeu de données traitées. Si c'était le cas, la réutilisation de la structure de traitement sur un nouveau jeu de données différentes produirait des résultats erronés .
Sur l'image on voit différenciées les 4 types de cellules .
fond indigo : zone des données à traiter .
fond gris bleu : cellules qui contiennent des quantités numériques saisies relatives à la structure de traitement .
fond brun clair : les différentes formules de calcul .
en noir sur fond blanc les recopies de formules de calcul .
2 . Documenter ses travaux .
> Donner les références des sources . si vous ne connaissez pas les normes en usage chez vos lecteurs . si vous les connaissez .
> pour archivage & en vue de communication à des collaborateurs, évaluateurs, commanditaires : donnez les indications méthodologiques : quels calculs réalisez vos .
> indiquez les zones de saisie des données . les zones qui contiennent une formule de calcul, les zones de recopie de la formule . en bref, transmettez toutes les indications utiles sur la fabrication de votre classeur et son mode d'emploi . tout ce que quelqu'un qui devrait se servir de votre travail, le poursuivre ou l'évaluer a besoin de savoir sur la manière dont vous avez procédé .
3 . faire un "check-up" : vérifiez
> que vous êtes d'accord avec tout ce que vous proposez,
> que votre structure de traitement est robuste, c.-à-d. utilisable pour tous jeux de données de même forme et signification, et
> que le classeur est correctement documenté,
4 . archiver un document-maître :
conservez le classeur deux exemplaires : un document maître (master) — pour archivage — et une copie de travail (work) qui servira à générer les traitements de nouveaux jeux de données .
5. La copie de travail est maintenant disponible pour recevoir un jeu de données ... Excel fera la suite ...
6. sauf que ... le diable est dans le détail !
n'oubliez pas de modifier les intitulés spécifiques au jeu de données de chaque classeur . soyez particulièrement attentifs . on n'a pas idée du nombr d'endroits où on inscrit des intitulés spécifiques à un jeu de données : titre du classeur, titre des tableaux, titres des graphiques, intitulé des séries et, last but not least, les noms des feuilles (ce que vous inscrivez sur les onglets) . ici encore une petite erreur cause une grosse incohérence qui invalide tout le travail . vigilance requise .

V. EXAMEN CRITIQUE D'UNE PROPOSITION DE STRUCTURE DE TRAITEMENT

à partir d'un document Excel réalisé à partir d'une proposition étudiante .
Cette proposition vous semble-t-elle correcte ? doit-on proposer des modifications ? lesquelles ? pourquoi ?

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liens utiles :
vers le document Excel à critiquer
vers la note : intelligence d'Excel . construire une structure de calcul sans les données

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